4. С какими из предложенных измерений сторон может существовать треугольник?

Для существования треугольника необходимо выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

1. 10 см, 6 см, 8 см:
• \( 10 + 6 > 8 \) (16 > 8) — верно
• \( 10 + 8 > 6 \) (18 > 6) — верно
• \( 6 + 8 > 10 \) (14 > 10) — верно

Треугольник с такими сторонами может существовать.

2. 54 см, 30 см, 20 см:
• \( 30 + 20 > 54 \) (50 > 54) — неверно

Треугольник с такими сторонами не может существовать.

3. 7 см, 3 см, 3 см:
• \( 3 + 3 > 7 \) (6 > 7) — неверно

Треугольник с такими сторонами не может существовать.

4. 40 см, 40 см, 90 см:
• \( 40 + 40 > 90 \) (80 > 90) — неверно

Треугольник с такими сторонами не может существовать.

Ответ: 1. 10 см, 6 см, 8 см