4. Решите задачу. В правильной треугольной пирамиде сторона основания 8 см. Каждое боковое ребро пирамиды равно 5 см. Вычислите апофему пирамиды.

Решение:

Дано:
Правильная треугольная пирамида.
Сторона основания \( a = 8 \) см.
Боковое ребро \( l = 5 \) см.
Найти: Апофему \( h_a \).

1. Так как пирамида правильная треугольная, в основании лежит равносторонний треугольник. Центр основания — точка пересечения медиан (и высот, и биссектрис).
2. Найдем высоту равностороннего треугольника (основания), которая является медианой и биссектрисой:
   \( m = \frac{a \sqrt{3}}{2} = \frac{8 \sqrt{3}}{2} = 4 \sqrt{3} \) см.
3. Точка пересечения медиан делит медиану в отношении 2:1, считая от вершины. Радиус описанной окружности \( R \) (расстояние от центра до вершины основания) равен \( \frac{2}{3} \) медианы:
   \[ R = \frac{2}{3} m = \frac{2}{3} \cdot 4 \sqrt{3} = \frac{8 \sqrt{3}}{3} \) см.
4. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром \( l \), радиусом описанной окружности \( R \) и высотой пирамиды \( H \). По теореме Пифагора:
   \[ H^2 = l^2 - R^2 \]
   \[ H^2 = 5^2 - \left(\frac{8 \sqrt{3}}{3}\right)^2 \]
   \[ H^2 = 25 - \frac{64 \cdot 3}{9} = 25 - \frac{64}{3} = \frac{75 - 64}{3} = \frac{11}{3} \]
   \[ H = \sqrt{\frac{11}{3}} \) см.
5. Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный апофемой \( h_a \), высотой пирамиды \( H \) и отрезком, соединяющим центр основания с серединой стороны основания (это половина высоты основания, т.к. основание — правильный треугольник):
   Отрезок от центра до середины стороны основания \( r \) равен \( \frac{1}{3} \) медианы:
   \[ r = \frac{1}{3} m = \frac{1}{3} \cdot 4 \sqrt{3} = \frac{4 \sqrt{3}}{3} \) см.
6. По теореме Пифагора для этого треугольника:
   \[ h_a^2 = H^2 + r^2 \]
   \[ h_a^2 = \frac{11}{3} + \left(\frac{4 \sqrt{3}}{3}\right)^2 \]
   \[ h_a^2 = \frac{11}{3} + \frac{16 \cdot 3}{9} = \frac{11}{3} + \frac{16}{3} = \frac{27}{3} = 9 \]
   \[ h_a = \(\sqrt{9}\) = 3 \) см.

Ответ: Апофема пирамиды равна 3 см.