2. Вычислите интеграл \( \int_{1}^{2} x^2 dx \)

Решение:

Чтобы вычислить определённый интеграл, найдём первообразную для функции \( x^2 \) и применим формулу Ньютона-Лейбница \( \int_{a}^{b} f(x) dx = F(b) - F(a) \).

1. Найдем первообразную для \( x^2 \):
   \[ F(x) = \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} = \frac{x^3}{3} \]
2. Вычислим значение первообразной в верхнем и нижнем пределах интегрирования:
   \( F(2) = \frac{2^3}{3} = \frac{8}{3} \)
   \( F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3} \>
3. Вычислим разность:
   \[ \int_{1}^{2} x^2 dx = F(2) - F(1) = \frac{8}{3} - \frac{1}{3} = \frac{7}{3} \]

Ответ: \( \frac{7}{3} \).