4. Решите неравенство: х² < 4. Ответ: ________

Решение:

Решим неравенство \( x^2 < 4 \).

1. Перенесём 4 в левую часть, чтобы получить неравенство вида \( x^2 - 4 < 0 \).
2. Разложим левую часть на множители как разность квадратов: \( (x - 2)(x + 2) < 0 \).
3. Найдём корни уравнения \( (x - 2)(x + 2) = 0 \). Корни: \( x = 2 \) и \( x = -2 \).
4. Эти корни разбивают числовую прямую на три интервала: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \) и \( (2, \infty) \).
5. Проверим знак выражения \( (x - 2)(x + 2) \) в каждом интервале:
• Для \( x < -2 \), например, при \( x = -3 \): \( (-3 - 2)(-3 + 2) = (-5)(-1) = 5 > 0 \).
• Для \( -2 < x < 2 \), например, при \( x = 0 \): \( (0 - 2)(0 + 2) = (-2)(2) = -4 < 0 \).
• Для \( x > 2 \), например, при \( x = 3 \): \( (3 - 2)(3 + 2) = (1)(5) = 5 > 0 \).
6. Нам нужно, чтобы \( (x - 2)(x + 2) < 0 \), поэтому подходит интервал \( (-2, 2) \).

Ответ: (–2; 2)