№ 4. Решите неравенство: 2^{(x-4)} > \(\frac{1}{8}\)^{2x-3}

Решение:

1. Приведём обе части неравенства к одному основанию. Заметим, что \( \frac{1}{8} = 2^{-3} \).
2. Перепишем неравенство: \( 2^{x-4} > (2^{-3})^{2x-3} \).
3. Используем свойство степеней \( (a^m)^n = a^{m · n} \): \( 2^{x-4} > 2^{-3(2x-3)} \).
4. \( 2^{x-4} > 2^{-6x+9} \).
5. Так как основание степени \( 2 > 1 \), при раскрытии скобок знак неравенства сохраняется: \( x-4 > -6x+9 \).
6. Решаем линейное неравенство: \( x + 6x > 9 + 4 \) \( \Rightarrow \) \( 7x > 13 \).
7. Находим \( x \): \( x > \frac{13}{7} \).

Ответ: \( x > \frac{13}{7} \).