№ 15. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями: y =3х – 1, y = 0, x = 1, x = 2.

Решение:

Площадь фигуры, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью \( Ox \) и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется с помощью определённого интеграла: \( S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \).

В данном случае, \( f(x) = 3x - 1 \), \( a = 1 \), \( b = 2 \). На интервале \( [1, 2] \) функция \( y = 3x - 1 \) положительна (при \( x=1 \), \( y=2 \); при \( x=2 \), \( y=5 \)), поэтому модуль можно опустить.

\( S = \int_{1}^{2} (3x - 1) dx \).

Найдём первообразную для функции \( 3x - 1 \):

\( \int (3x - 1) dx = 3 \int x dx - \int 1 dx = 3 \cdot \frac{x^2}{2} - x = \frac{3}{2}x^2 - x \).

Теперь вычислим определённый интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница:

\( S = [\frac{3}{2}x^2 - x]_{1}^{2} = (\frac{3}{2}(2)^2 - 2) - (\frac{3}{2}(1)^2 - 1) \)

\( S = (\frac{3}{2} · 4 - 2) - (\frac{3}{2} - 1) \)

\( S = (6 - 2) - (\frac{3}{2} - \frac{2}{2}) \)

\( S = 4 - \frac{1}{2} \)

\( S = \frac{8}{2} - \frac{1}{2} = \frac{7}{2} = 3.5 \).

Ответ: \( 3.5 \).