4. Решить дифференциальные уравнения: 1) y'' +3y' - 4y=0; 2) y'=5x*y⁷.

Решение:

1. Уравнение 1: \( y'' + 3y' - 4y = 0 \)
   Это линейное однородное дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами. Составим характеристическое уравнение:
   \( k^2 + 3k - 4 = 0 \)
   Находим корни квадратного уравнения:
   \( D = 3^2 - 4(1)(-4) = 9 + 16 = 25 \)
   \( k_1 = \frac{-3 + \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 + 5}{2} = 1 \)
   \( k_2 = \frac{-3 - \sqrt{25}}{2} = \frac{-3 - 5}{2} = -4 \)
   Так как корни действительные и разные, общее решение имеет вид:
   \( y = C_1 e^{k_1 x} + C_2 e^{k_2 x} \)
   \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} \)
2. Уравнение 2: \( y' = 5x y^7 \)
   Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными. Перепишем \( y' \) как \( \frac{dy}{dx} \>.
   \( \frac{dy}{dx} = 5x y^7 \)
   Разделим переменные:
   \( \frac{dy}{y^7} = 5x dx \)
   Проинтегрируем обе части:
   \( \int \frac{dy}{y^7} = \int 5x dx \)
   \( \int y^{-7} dy = 5 \int x dx \)
   \( \frac{y^{-6}}{-6} = 5 \frac{x^2}{2} + C \)
   \( -\frac{1}{6y^6} = \frac{5x^2}{2} + C \)
   Можно также выразить \( y \):
   \( y^{-6} = -6 \left( \frac{5x^2}{2} + C \right) \)
   \( y^{-6} = -15x^2 - 6C \)
   Обозначим \( C_1 = -6C \>.
   \( y^{-6} = -15x^2 + C_1 \)
   \( y^6 = \frac{1}{-15x^2 + C_1} \)
   \( y = \pm \sqrt[6]{\frac{1}{C_1 - 15x^2}} \)

Ответ: 1) \( y = C_1 e^{x} + C_2 e^{-4x} \); 2) \( y = \pm \sqrt[6]{\frac{1}{C_1 - 15x^2}} \).