3. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y=x², y=x.

Решение:

Чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями \( y = x^2 \) и \( y = x \), сначала найдем точки их пересечения. Приравняем уравнения:

\( x^2 = x \)

\( x^2 - x = 0 \)

\( x(x - 1) = 0 \)

Точки пересечения: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = 1 \).

На промежутке \( [0, 1] \) функция \( y = x \) находится выше функции \( y = x^2 \).

Площадь \( S \) находится как интеграл от разности функций:

\[ S = \int_{0}^{1} (x - x^2) dx \]

Вычисляем интеграл:

\[ S = \left[ \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{0}^{1} \]

\[ S = \left( \frac{1^2}{2} - \frac{1^3}{3} \right) - \left( \frac{0^2}{2} - \frac{0^3}{3} \right) \]

\[ S = \left( \frac{1}{2} - \frac{1}{3} \right) - 0 \]

\[ S = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6} \]

Ответ: Площадь фигуры равна \( \frac{1}{6} \).