4. Разложите на множители: a) 81a⁴ - 1; 6) y² - x² - 6x - 9.

Привет! Давай разложим эти выражения на множители.

4. Разложение на множители:

1. а)

   Здесь у нас разность квадратов, но сначала нужно увидеть, что 81a⁴ — это квадрат (9a²)²:

   \[ 81a^4 - 1 = (9a^2)^2 - 1^2 \]

   Применяем формулу разности квадратов (x - y)(x + y):

   \[ (9a^2 - 1)(9a^2 + 1) \]

   Первый множитель (9a² - 1) — это снова разность квадратов, так как 9a² = (3a)²:

   \[ ( (3a)^2 - 1^2 ) (9a^2 + 1) = (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1) \]

   Ответ:

   \[ (3a - 1)(3a + 1)(9a^2 + 1) \]

2. б)

   Это выражение выглядит сложнее, но если посмотреть внимательно, то x² + 6x + 9 — это квадрат суммы (x + 3)². Попробуем сгруппировать:

   \[ y^2 - x^2 - 6x - 9 = y^2 - (x^2 + 6x + 9) \]

   Теперь видим квадрат суммы:

   \[ y^2 - (x + 3)^2 \]

   Это снова разность квадратов, где x = y и y = (x + 3):

   \[ (y - (x + 3))(y + (x + 3)) \]

   Раскроем скобки:

   \[ (y - x - 3)(y + x + 3) \]

   Ответ:

   \[ (y - x - 3)(y + x + 3) \]