4. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках К и М соответственно. Найдите АС, если ВК: КА= 3:7, KM= 12.

Задание 4

Дано:

• Прямая \( KM \parallel AC \).
• \( K \) лежит на \( AB \), \( M \) лежит на \( BC \).
• \( BK:KA = 3:7 \)
• \( KM = 12 \)

Найти: длину стороны \( AC \).

Решение:

1. Так как \( KM \parallel AC \), то \( \triangle BKM \) подобен \( \triangle BAC \) по двум углам (угол \( B \) общий, \( \angle BKM = \angle BAC \) и \( \angle BMK = \angle BCA \) как соответственные углы при параллельных прямых \( KM \) и \( AC \) и секущих \( AB \) и \( BC \) соответственно).
2. Из отношения \( BK:KA = 3:7 \) следует, что \( BK \) составляет \( \frac{3}{3+7} = \frac{3}{10} \) от всей стороны \( AB \). То есть, \( BK = \frac{3}{10} BA \).
3. Коэффициент подобия \( k \) треугольников \( \triangle BKM \) и \( \triangle BAC \) равен отношению соответствующих сторон:
\[ k = \frac{BK}{BA} = \frac{3}{10} \]
4. Отношение длин соответствующих сторон в подобных треугольниках равно коэффициенту подобия:
\[ \frac{KM}{AC} = k \]\[ \frac{12}{AC} = \frac{3}{10} \]
5. Выразим \( AC \):
\[ AC = \frac{12 \cdot 10}{3} \]\[ AC = 4 \cdot 10 \]\[ AC = 40 \]

Ответ: 40