4. Пассажирский поезд был задержан в пути на 16 мин и наверстал время на перегоне в 80 км, двигаясь со скоростью, на 10 км/ч большей, чем полагалось по расписанию. Чему была равна скорость поезда по расписанию?

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть $$v$$ — скорость поезда по расписанию (км/ч).
   Тогда $$v + 10$$ — фактическая скорость поезда (км/ч).
   Время в пути по расписанию $$t_{расп} = \frac{80}{v}$$ (ч).
   Фактическое время в пути $$t_{факт} = \frac{80}{v+10}$$ (ч).
2. Учтем задержку:
   Задержка составила 16 минут, что равно $$\frac{16}{60} = \frac{4}{15}$$ часа.
   Разница во времени: $$t_{расп} - t_{факт} = \frac{4}{15}$$.
3. Составим уравнение:
   \[ \frac{80}{v} - \frac{80}{v+10} = \frac{4}{15} \]
4. Решим уравнение:
   Умножим обе части на $$15v(v+10)$$, чтобы избавиться от знаменателей:
   \[ 80 \cdot 15 (v+10) - 80 \cdot 15 v = 4 v (v+10) \]
   \[ 1200(v+10) - 1200v = 4v^2 + 40v \]
   \[ 1200v + 12000 - 1200v = 4v^2 + 40v \]
   \[ 12000 = 4v^2 + 40v \]
5. Приведем к стандартному квадратному уравнению:
   \[ 4v^2 + 40v - 12000 = 0 \]
   Разделим на 4:
   \[ v^2 + 10v - 3000 = 0 \]
6. Найдем корни квадратного уравнения через дискриминант:
   \[ D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-3000) = 100 + 12000 = 12100 \]
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{12100} = 110 \]
7. Найдем значения $$v$$:
   \[ v_1 = \frac{-10 + 110}{2} = \frac{100}{2} = 50 \]
   \[ v_2 = \frac{-10 - 110}{2} = \frac{-120}{2} = -60 \]
8. Выберем подходящий корень:
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому $$v = 50$$ км/ч.

Ответ: 50 км/ч.