4. Найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной прямыми х = а, х = b, осью Ох и графиком функции у = f(x): a = 2, b = 4, f(x) = x³.

Решение:

Площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции \( y = f(x) \), осью Ox и прямыми \( x = a \) и \( x = b \), вычисляется с помощью определенного интеграла:

\( S = \int_{a}^{b} f(x) dx \)

В данном случае \( a = 2 \), \( b = 4 \) и \( f(x) = x^3 \).

1. Подставим значения в формулу интеграла: \( S = \int_{2}^{4} x^3 dx \).
2. Найдем первообразную для \( x^3 \): \( \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^4}{4} \).
3. Вычислим определенный интеграл, используя формулу Ньютона-Лейбница: \( S = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{2}^{4} = \frac{4^4}{4} - \frac{2^4}{4} \).
4. Рассчитаем значения: \( \frac{256}{4} - \frac{16}{4} = 64 - 4 = 60 \).

Ответ: 60.