8. В сосуд, имеющий форму правильной треугольной призмы, налили воду. Уровень воды достигает 80 см. На какой высоте будет находиться уровень воды, если ее перелить в другой такой же сосуд, у которого сторона основания в 4 раза больше, чем у первого? Ответ выразите в см.

Решение:

Пусть \( V \) — объём воды, \( h_1 \) — первоначальная высота воды, \( S_1 \) — площадь основания первой призмы. Тогда \( V = S_1 h_1 \).

Первая призма — правильная треугольная. Пусть \( a_1 \) — сторона основания первой призмы. Площадь правильного треугольника со стороной \( a \) равна \( S = \frac{√{3}}{4} a^2 \).

Таким образом, \( S_1 = \frac{√{3}}{4} a_1^2 \).

Объём воды: \( V = \frac{√{3}}{4} a_1^2 80 \).

Во второй сосуд, который является такой же призмой, но со стороной основания \( a_2 \), в 4 раза большей, чем у первой: \( a_2 = 4a_1 \).

Площадь основания второй призмы: \( S_2 = \frac{√{3}}{4} a_2^2 = \frac{√{3}}{4} (4a_1)^2 = \frac{√{3}}{4} 16a_1^2 = 16 S_1 \).

Пусть \( h_2 \) — высота воды во втором сосуде. Объём воды остаётся прежним:

\( V = S_2 h_2 \)

\[ \frac{√{3}}{4} a_1^2 80 = (16 \frac{√{3}}{4} a_1^2) h_2 \]

Сократим одинаковые множители \( \frac{√{3}}{4} a_1^2 \):

\[ 80 = 16 h_2 \]

\[ h_2 = \frac{80}{16} = 5 \]

Ответ: 5 см.