4. Найдите значение выражения \(\text{tg} \alpha\), если \(\cos \alpha = -0.8\) и \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)

Решение:

Нам дано значение \(\cos \alpha = -0.8\) и известно, что угол \(\alpha\) находится во втором координатном углу (так как \(\frac{\pi}{2} < \alpha < \pi\)). Во втором координатном угле синус положителен, а косинус и тангенс отрицательны.

Для начала найдём \(\sin \alpha\) с помощью основного тригонометрического тождества: \(\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1\).

\[ \sin^2 \alpha = 1 - \cos^2 \alpha \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - (-0.8)^2 \]

\[ \sin^2 \alpha = 1 - 0.64 \]

\[ \sin^2 \alpha = 0.36 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ \sin \alpha = \pm \sqrt{0.36} \]

\[ \sin \alpha = \pm 0.6 \]

Поскольку угол \(\alpha\) находится во втором координатном угле, \(\sin \alpha\) должен быть положительным. Следовательно, \(\sin \alpha = 0.6\).

Теперь найдём \(\text{tg} \alpha\) по формуле: \(\text{tg} \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}\).

\[ \text{tg} \alpha = \frac{0.6}{-0.8} \]

Разделим числитель и знаменатель на 0.2, чтобы упростить дробь:

\[ \text{tg} \alpha = \frac{0.6 \div 0.2}{-0.8 \div 0.2} = \frac{3}{-4} = -\frac{3}{4} \]

Представим ответ в виде десятичной дроби: \(-\frac{3}{4} = -0.75\).

Ответ: -0.75