3. Найдите значение выражения: \(19^{2\log_{19}3} \cdot 2\log_{3}81\)

Решение:

Для решения этого примера нам понадобятся два основных свойства логарифмов:

1. \( a^{\log_a b} = b \)
2. \( \log_a a^k = k \)

Рассмотрим первую часть выражения: \(19^{2\log_{19}3}\). Мы можем вынести множитель 2 из степени логарифма:

\[ 19^{2\log_{19}3} = 19^{\log_{19}3^2} = 19^{\log_{19}9} \]

Теперь применяем первое свойство логарифма, где \(a=19\) и \(b=9\):

\[ 19^{\log_{19}9} = 9 \]

Теперь рассмотрим вторую часть выражения: \(2\log_{3}81\). Сначала найдём \(\log_{3}81\). Это значит, в какую степень нужно возвести 3, чтобы получить 81. Мы знаем, что \(3^4 = 81\), поэтому \(\log_{3}81 = 4\).

Теперь умножим это значение на 2:

\[ 2 \cdot \log_{3}81 = 2 \cdot 4 = 8 \]

Наконец, перемножим значения обеих частей выражения:

\[ 9 \cdot 8 = 72 \]

Ответ: 72