4. Найдите значение выражения (15 √5a - 7 √20a) / (2 √4a) при a > 0.

Привет! Давай разберемся с этим выражением по шагам.

1. Смотрим на выражение: У нас есть дробь, где в числителе разность корней, а в знаменателе тоже корень. Все корни относятся к переменной a, и мы знаем, что a больше нуля.
2. Упрощаем числитель: Заметим, что под корнями есть похожие множители.
• \[ \sqrt[5]{a} \]
• \[ \sqrt[7]{a^{20}} = \sqrt[7]{a^{14} ∙ a^6} = a^2 ∙ \sqrt[7]{a^6} \]
• \[ \sqrt[4]{a} \]
3. Подставляем обратно и упрощаем:
• \[ \frac{15 ∙ \sqrt[5]{a} - 7 ∙ a^2 ∙ \sqrt[7]{a^6}}{2 ∙ \sqrt[4]{a}} \]
4. Преобразуем корни в степени:
• \[ \frac{15 ∙ a^{\frac{1}{5}} - 7 ∙ a^2 ∙ a^{\frac{6}{7}}}{2 ∙ a^{\frac{1}{4}}} \]
5. Складываем показатели степени для второго слагаемого в числителе:
• \[ 2 + \frac{6}{7} = \frac{14}{7} + \frac{6}{7} = \frac{20}{7} \]
6. Подставляем обратно:
• \[ \frac{15 ∙ a^{\frac{1}{5}} - 7 ∙ a^{\frac{20}{7}}}{2 ∙ a^{\frac{1}{4}}} \]
7. Разделяем дробь на две:
• \[ \frac{15 ∙ a^{\frac{1}{5}}}{2 ∙ a^{\frac{1}{4}}} - \frac{7 ∙ a^{\frac{20}{7}}}{2 ∙ a^{\frac{1}{4}}} \]
8. Вычитаем степени:
• \[ \frac{15}{2} ∙ a^{\frac{1}{5} - \frac{1}{4}} - \frac{7}{2} ∙ a^{\frac{20}{7} - \frac{1}{4}} \]
9. Считаем показатели:
• \[ \frac{1}{5} - \frac{1}{4} = \frac{4}{20} - \frac{5}{20} = -\frac{1}{20} \]
• \[ \frac{20}{7} - \frac{1}{4} = \frac{80}{28} - \frac{7}{28} = \frac{73}{28} \]
10. Подставляем результат:
• \[ \frac{15}{2} ∙ a^{-\frac{1}{20}} - \frac{7}{2} ∙ a^{\frac{73}{28}} \]
11. Преобразуем отрицательную степень:
• \[ \frac{15}{2 ∙ a^{\frac{1}{20}}} - \frac{7}{2} ∙ a^{\frac{73}{28}} \]

Ответ: ⅒ · a⁻¹⁰¹⁰ - ⅒ · a⁷³⁲⁸