3. Найдите значение выражения √9m / √16m при m > 0.

Привет! Давай вместе разберемся с этим заданием.

1. Смотрим на выражение: У нас есть дробь, где в числителе корень 9-ой степени из m, а в знаменателе корень 16-ой степени из m. Важное условие: m больше нуля.
2. Представляем корни как степени: Помнишь, что корень n-ой степени из числа x можно записать как x в степени 1/n?
• \[ \sqrt[9]{m} = m^{\frac{1}{9}} \]
• \[ \sqrt[16]{m} = m^{\frac{1}{16}} \]
3. Подставляем в дробь:
• \[ \frac{m^{\frac{1}{9}}}{m^{\frac{1}{16}}} \]
4. Применяем правило деления степеней: Когда мы делим степени с одинаковым основанием, мы вычитаем показатель степени знаменателя из показателя степени числителя.
• \[ m^{\frac{1}{9} - \frac{1}{16}} \]
5. Считаем показатели: Чтобы вычесть дроби, нам нужен общий знаменатель. Для 9 и 16 это 144.
• \[ \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{1 ∙ 16}{9 ∙ 16} - \frac{1 ∙ 9}{16 ∙ 9} = \frac{16}{144} - \frac{9}{144} = \frac{16 - 9}{144} = \frac{7}{144} \]
6. Записываем результат:
• \[ m^{\frac{7}{144}} \]
7. Возвращаем в виде корня: Это означает корень 144-ой степени из m в 7-ой степени.
• \[ \sqrt[144]{m^7} \]

Ответ: √¹⁴⁴m⁷