4. Найдите производную функции, используя правило дифференцирования произведения. \( f(x)=(2x+1)(x^2-5x) \)

Решение:

Используем правило дифференцирования произведения: \( (uv)' = u'v + uv' \).

Пусть \( u = 2x+1 \) и \( v = x^2-5x \).

1. Найдём производные \( u' \) и \( v' \):

\[ u' = (2x+1)' = 2 \]

\[ v' = (x^2-5x)' = 2x-5 \]

2. Применим правило дифференцирования произведения:

\[ f'(x) = u'v + uv' = 2(x^2-5x) + (2x+1)(2x-5) \]

3. Раскроем скобки и приведём подобные слагаемые:

\[ f'(x) = (2x^2 - 10x) + (4x^2 - 10x + 2x - 5) \]

\[ f'(x) = 2x^2 - 10x + 4x^2 - 8x - 5 \]

\[ f'(x) = 6x^2 - 18x - 5 \]

Ответ: \( f'(x) = 6x^2 - 18x - 5 \).