3. Найдите \( \cos \alpha \), если \( \sin \alpha = -\frac{\sqrt{11}}{10} \) и \( \alpha \) — угол IV четверти.

Решение:

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

1. Подставим известное значение \( \sin \alpha \):

\[ \left(-\frac{\sqrt{11}}{10}\right)^2 + \cos^2 \alpha = 1 \]

\[ \frac{11}{100} + \cos^2 \alpha = 1 \]

2. Выразим \( \cos^2 \alpha \):

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{11}{100} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{100-11}{100} \]

\[ \cos^2 \alpha = \frac{89}{100} \]

3. Найдем \( \cos \alpha \), извлекая квадратный корень:

\[ \cos \alpha = \pm\sqrt{\frac{89}{100}} = \pm\frac{\sqrt{89}}{10} \]

4. Определим знак \( \cos \alpha \) по четверти. Угол \( \alpha \) находится в IV четверти, где косинус положителен.

Ответ: \( \cos \alpha = \frac{\sqrt{89}}{10} \).