4. Найдите произведение корней (или корень, если он один) уравнения \(\sqrt[3]{2{,}25}:\sqrt[3]{1\frac{1}{2}}\cdot\left(\frac{8}{27}\right)^{x^2}=1\). Варианты: 1) \(\frac{1}{3}\); 2) \(-\frac{1}{9}\); 3) \(-\frac{1}{3}\); 4) 0; 5) −1.

Question

Вопрос:

Accepted Answer

Выполним деление корней: \(\sqrt[3]{2{,}25}:\sqrt[3]{1\frac{1}{2}}=\sqrt[3]{\frac{9/4}{3/2}}=\sqrt[3]{\frac{3}{2}}\).
Поскольку \(\frac{8}{27}=\left(\frac{2}{3}\right)^3\), уравнение принимает вид \(\left(\frac{3}{2}\right)^{1/3}\left(\frac{2}{3}\right)^{3x^2}=1\), или \(\left(\frac{3}{2}\right)^{1/3-3x^2}=1\).
Основание не равно 1, поэтому показатель равен нулю: \(1/3-3x^2=0\). Отсюда \(x=\pm1/3\), и произведение корней равно \(-1/9\).

Ответ: \(-\frac{1}{9}\) (вариант 2).