4. Найдите по данным на рисунке 2, синус, косинус и тангенс острых углов прямоугольного треугольника.

Решение:

Для каждого треугольника найдем синус, косинус и тангенс острых углов.

Треугольник ABC:

• Стороны: AC = 16, CB = 30, AB = 34 (гипотенуза, т.к. 16² + 30² = 256 + 900 = 1156 = 34²)
• Для угла A:
  • sin ∠A = противолежащий / гипотенуза = 16 / 34 = 8/17
  • cos ∠A = прилежащий / гипотенуза = 30 / 34 = 15/17
  • tg ∠A = противолежащий / прилежащий = 16 / 30 = 8/15
• Для угла B:
  • sin ∠B = противолежащий / гипотенуза = 30 / 34 = 15/17
  • cos ∠B = прилежащий / гипотенуза = 16 / 34 = 8/17
  • tg ∠B = противолежащий / прилежащий = 30 / 16 = 15/8

Треугольник MNP:

• Стороны: MN = 8, NP = 4, MP = 4√5 (гипотенуза, т.к. 8² + 4² = 64 + 16 = 80 = (4√5)²)
• Для угла M:
  • sin ∠M = противолежащий / гипотенуза = 4 / (4√5) = 1/√5 = √5/5
  • cos ∠M = прилежащий / гипотенуза = 8 / (4√5) = 2/√5 = 2√5/5
  • tg ∠M = противолежащий / прилежащий = 4 / 8 = 1/2
• Для угла N:
  • sin ∠N = противолежащий / гипотенуза = 8 / (4√5) = 2/√5 = 2√5/5
  • cos ∠N = прилежащий / гипотенуза = 4 / (4√5) = 1/√5 = √5/5
  • tg ∠N = противолежащий / прилежащий = 8 / 4 = 2

Треугольник PQR:

• Стороны: PQ = 10, QR = 8, PR = 6 (гипотенуза, т.к. 10² ≠ 8² + 6² - ошибка в условии, т.к. 100 ≠ 64 + 36. Будем считать, что PQ=10 - гипотенуза, так как угол Q прямой.)
• Для угла P:
  • sin ∠P = противолежащий / гипотенуза = 8 / 10 = 4/5
  • cos ∠P = прилежащий / гипотенуза = 6 / 10 = 3/5
  • tg ∠P = противолежащий / прилежащий = 8 / 6 = 4/3
• Для угла R:
  • sin ∠R = противолежащий / гипотенуза = 6 / 10 = 3/5
  • cos ∠R = прилежащий / гипотенуза = 8 / 10 = 4/5
  • tg ∠R = противолежащий / прилежащий = 6 / 8 = 3/4

Треугольник DEF:

• Стороны: DE = 10, EF = 5, DF = 5√5 (гипотенуза, т.к. 10² ≠ 5² + (5√5)² - ошибка в условии, т.к. 100 ≠ 25 + 125. Будем считать, что DF=5√5 - гипотенуза, так как угол E прямой.)
• Для угла D:
  • sin ∠D = противолежащий / гипотенуза = 5 / (5√5) = 1/√5 = √5/5
  • cos ∠D = прилежащий / гипотенуза = 10 / (5√5) = 2/√5 = 2√5/5
  • tg ∠D = противолежащий / прилежащий = 5 / 10 = 1/2
• Для угла F:
  • sin ∠F = противолежащий / гипотенуза = 10 / (5√5) = 2/√5 = 2√5/5
  • cos ∠F = прилежащий / гипотенуза = 5 / (5√5) = 1/√5 = √5/5
  • tg ∠F = противолежащий / прилежащий = 10 / 5 = 2

Треугольник HTS:

• Стороны: HT = 13, TS = 12, HS = 5 (гипотенуза, т.к. 13² ≠ 12² + 5² - ошибка в условии, т.к. 169 ≠ 144 + 25. Это верно, значит HS=5 - не гипотенуза. Будем считать, что HS=5 - прилежащий катет к T, а TS=12 - противолежащий катет к H, тогда HT=13 - гипотенуза. Угол T прямой.)
• Для угла H:
  • sin ∠H = противолежащий / гипотенуза = 12 / 13
  • cos ∠H = прилежащий / гипотенуза = 5 / 13
  • tg ∠H = противолежащий / прилежащий = 12 / 5
• Для угла S:
  • sin ∠S = противолежащий / гипотенуза = 5 / 13
  • cos ∠S = прилежащий / гипотенуза = 12 / 13
  • tg ∠S = противолежащий / прилежащий = 5 / 12

Треугольник XYZ:

• Стороны: XY = √29, XZ = 2, YZ = 5 (гипотенуза, т.к. (√29)² ≠ 2² + 5² - ошибка в условии, т.к. 29 ≠ 4 + 25. Это верно, значит YZ=5 - не гипотенуза. Будем считать, что YZ=5 - прилежащий катет к X, а XZ=2 - противолежащий катет к Y, тогда XY=√29 - гипотенуза.)
• Для угла X:
  • sin ∠X = противолежащий / гипотенуза = 2 / √29 = 2√29/29
  • cos ∠X = прилежащий / гипотенуза = 5 / √29 = 5√29/29
  • tg ∠X = противолежащий / прилежащий = 2 / 5
• Для угла Y:
  • sin ∠Y = противолежащий / гипотенуза = 5 / √29 = 5√29/29
  • cos ∠Y = прилежащий / гипотенуза = 2 / √29 = 2√29/29
  • tg ∠Y = противолежащий / прилежащий = 5 / 2

Ответ: Результаты приведены для каждого треугольника отдельно.