4. Найдите область определения функции y = (2x - 3) / √x - 1 + 4√5 - 2x.

Решение:

Область определения функции определяется условиями, при которых все её части имеют смысл. В данном случае у нас два условия:

1. Выражение под квадратным корнем должно быть неотрицательным: \( 5 - 2x \geq 0 \).
2. Выражение под квадратным корнем в знаменателе также должно быть неотрицательным, и само знаменатель не может быть равен нулю: \( x - 1 > 0 \).

Решим первое условие:

\( 5 - 2x \geq 0 \)

\( 5 \geq 2x \)

\( \frac{5}{2} \geq x \)

\( x \leq 2.5 \)

Решим второе условие:

\( x - 1 > 0 \)

\( x > 1 \)

Чтобы функция имела смысл, оба условия должны выполняться одновременно. Нам нужно найти пересечение интервалов \( x \leq 2.5 \) и \( x > 1 \).

Интервал \( x > 1 \) означает \( (1; +\infty) \).

Интервал \( x \leq 2.5 \) означает \( (-2.5; 2.5] \).

Пересечение этих интервалов:

\( (1; +\infty) \cap (-2.5; 2.5] = (1; 2.5] \)

Таким образом, область определения функции — это интервал от 1 до 2.5 (включая 2.5, но не включая 1).

Ответ: \( x \in (1; 2.5] \).