4. Найдите наибольшее значение функции y = x³ – 18x² + 15на отрезке [-3;3].

Решение:

1. Найдем производную функции: \( y' = 3x^2 - 36x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 3x^2 - 36x = 0 \).
3. Вынесем общий множитель: \( 3x(x - 12) = 0 \).
4. Решим уравнение: \( x = 0 \) или \( x = 12 \).
5. Из критических точек \( x = 0 \) и \( x = 12 \) на отрезке \( [-3; 3] \) находится только \( x = 0 \).
6. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   • \( y(-3) = (-3)^3 - 18(-3)^2 + 15 = -27 - 18(9) + 15 = -27 - 162 + 15 = -174 \).
   • \( y(0) = (0)^3 - 18(0)^2 + 15 = 0 - 0 + 15 = 15 \).
   • \( y(3) = (3)^3 - 18(3)^2 + 15 = 27 - 18(9) + 15 = 27 - 162 + 15 = -120 \).
7. Сравним полученные значения: \( -174, 15, -120 \). Наибольшее значение равно \( 15 \).

Ответ: Наибольшее значение функции на отрезке \( [-3;3] \) равно \( 15 \).