3. Найдите точку максимума функции y = (x² - 10x + 10)e⁵⁻ˣ.

Решение:

1. Найдем производную функции, используя правило для произведения и производную сложной функции: \( y' = (2x - 10)e^{5-x} + (x^2 - 10x + 10)(-e^{5-x}) \).
2. Вынесем общий множитель \( e^{5-x} \): \( y' = e^{5-x}[(2x - 10) - (x^2 - 10x + 10)] \).
3. Упростим выражение в скобках: \( y' = e^{5-x}[2x - 10 - x^2 + 10x - 10] = e^{5-x}[-x^2 + 12x - 20] \).
4. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки. Так как \( e^{5-x} \) всегда больше нуля, приравниваем к нулю квадратный трехчлен: \( -x^2 + 12x - 20 = 0 \) или \( x^2 - 12x + 20 = 0 \).
5. Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = (-12)^2 - 4(1)(20) = 144 - 80 = 64 \).
6. Найдем корни:
   • \( x_1 = \frac{12 + \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 + 8}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
   • \( x_2 = \frac{12 - \sqrt{64}}{2 \cdot 1} = \frac{12 - 8}{2} = \frac{4}{2} = 2 \)
7. Определим знаки производной на интервалах:
   • На интервале \( (-\infty, 2) \): Возьмем \( x = 0 \). \( y'(0) = e^5(-20) < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (2, 10) \): Возьмем \( x = 3 \). \( y'(3) = e^2(-9 + 36 - 20) = e^2(7) > 0 \). Функция возрастает.
   • На интервале \( (10, \infty) \): Возьмем \( x = 11 \). \( y'(11) = e^{-6}(-121 + 132 - 20) = e^{-6}(-9) < 0 \). Функция убывает.
8. Следовательно, точка \( x = 2 \) является минимумом, а точка \( x = 10 \) — максимумом.

Ответ: Точка максимума функции: \( x = 10 \).