1.Найти интервалы возрастания и убывания функции: f(x) = x⁴ - 4x³ + 20

Решение:

1. Найдем производную функции: \( f'(x) = 4x^3 - 12x^2 \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( 4x^3 - 12x^2 = 0 \).
3. Вынесем общий множитель: \( 4x^2(x - 3) = 0 \).
4. Решим уравнение: \( x^2 = 0 \) или \( x - 3 = 0 \), что дает \( x = 0 \) и \( x = 3 \).
5. Определим знаки производной на интервалах:
   • На интервале \( (-\infty, 0) \): Возьмем \( x = -1 \). \( f'(-1) = 4(-1)^2(-1 - 3) = 4(1)(-4) = -16 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (0, 3) \): Возьмем \( x = 1 \). \( f'(1) = 4(1)^2(1 - 3) = 4(1)(-2) = -8 < 0 \). Функция убывает.
   • На интервале \( (3, \infty) \): Возьмем \( x = 4 \). \( f'(4) = 4(4)^2(4 - 3) = 4(16)(1) = 64 > 0 \). Функция возрастает.

Ответ: Функция убывает на интервалах \( (-\infty, 3) \), возрастает на интервале \( (3, \infty) \).