4. Найдите математическое ожидание М(Х), М(Y), дисперсию D(X), D(Y), среднее квадратичное δ(Χ), δ(Υ)

Решение:

Для случайной величины X:

Математическое ожидание $$M(X)$$: \( M(X) = \sum_{i=1}^{n} x_i P(x_i) \)

\[ M(X) = 10 \times 0.4 + 20 \times 0.2 + 40 \times 0.4 = 4 + 4 + 16 = 24 \]

Дисперсия $$D(X)$$: \( D(X) = M(X^2) - (M(X))^2 \)

Сначала найдём $$M(X^2)$$: \( M(X^2) = 10^2 \times 0.4 + 20^2 \times 0.2 + 40^2 \times 0.4 = 100 \times 0.4 + 400 \times 0.2 + 1600 \times 0.4 = 40 + 80 + 640 = 760 \)

Теперь найдём $$D(X)$$: \( D(X) = 760 - (24)^2 = 760 - 576 = 184 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\delta(X)$$: \( \delta(X) = \sqrt{D(X)} \)

\[ \delta(X) = \sqrt{184} \approx 13.56 \]

Для случайной величины Y:

Математическое ожидание $$M(Y)$$: \( M(Y) = \sum_{i=1}^{n} y_i P(y_i) \)

\[ M(Y) = 10 \times 0.3 + 20 \times 0.1 + 40 \times 0.2 + 20 \times 0.4 = 3 + 2 + 8 + 8 = 21 \]

Дисперсия $$D(Y)$$: \( D(Y) = M(Y^2) - (M(Y))^2 \)

Сначала найдём $$M(Y^2)$$: \( M(Y^2) = 10^2 \times 0.3 + 20^2 \times 0.1 + 40^2 \times 0.2 + 20^2 \times 0.4 = 100 \times 0.3 + 400 \times 0.1 + 1600 \times 0.2 + 400 \times 0.4 = 30 + 40 + 320 + 160 = 550 \)

Теперь найдём $$D(Y)$$: \( D(Y) = 550 - (21)^2 = 550 - 441 = 109 \)

Среднее квадратичное отклонение $$\delta(Y)$$: \( \delta(Y) = \sqrt{D(Y)} \)

\[ \delta(Y) = \sqrt{109} \approx 10.44 \]

Ответ: $$M(X) = 24$$, $$D(X) = 184$$, $$\delta(X) = \sqrt{184} \approx 13.56$$; $$M(Y) = 21$$, $$D(Y) = 109$$, $$\delta(Y) = \sqrt{109} \approx 10.44$$.