3. В помещении 16 ламп. Сколько существует вариантов его освещения, если одновременно должны светиться 14 ламп? (Сочетание)

Решение:

Это задача на сочетания, так как нам нужно выбрать 14 ламп из 16, и порядок выбора ламп не имеет значения.

Формула для числа сочетаний из $$n$$ по $$k$$: $$C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$$.

В данном случае $$n=16$$ (общее количество ламп) и $$k=14$$ (количество ламп, которые должны светиться).

Число способов равно:

\[ C_{16}^{14} = \binom{16}{14} = \frac{16!}{14!(16-14)!} = \frac{16!}{14!2!} = \frac{16 \times 15}{2 \times 1} = 8 \times 15 = 120 \]

Ответ: 120 вариантов.