1. Сколькими способами можно установить дежурство по одному человеку в день среди девяти учащихся в течение 9 дней (перестановка)

Решение:

Это задача на перестановки, так как порядок выбора важен (каждый день — новый дежурный), и учащиеся выбираются без повторений.

Формула для числа размещений из $$n$$ по $$k$$: $$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$$.

В данном случае $$n=9$$ (количество учащихся) и $$k=9$$ (количество дней).

Число способов равно:

\[ A_9^9 = \frac{9!}{(9-9)!} = \frac{9!}{0!} = 9! \]\[ 9! = 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 362880 \]

Ответ: 362880 способов.