4. На рисунке CD || AB, AO = OC, BO = OD, ∠DCB = 70°, ∠CDO = 65°. Докажите, что ΔDOC = ΔBOA. Найдите ∠ABC. Запишите решение

Дано:

• На рисунке CD || AB.
• AO = OC
• BO = OD
• $$ \text{∠DCB} = 70^{\circ} $$
• $$ \text{∠CDO} = 65^{\circ} $$

Доказать:

• $$ \triangle DOC \text{ равн } \triangle BOA $$

Найти:

• $$ \text{∠ABC} $$

Решение:

1. Доказательство равенства треугольников ΔDOC и ΔBOA:
• 1. AO = OC и BO = OD (по условию).
• 2. ∠DOC = ∠BOA (как вертикальные углы).
• 3. Следовательно, $$ \triangle DOC = \triangle BOA $$ по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
2. Нахождение углов треугольника DOC:
• $$ \text{∠DCO} = \text{∠DCB} = 70^{\circ} $$ (так как O лежит на CB).
• $$ \text{∠ODC} = 65^{\circ} $$ (по условию).
• Сумма углов в треугольнике DOC равна 180°.
• $$ \text{∠DOC} = 180^{\circ} - (\text{∠DCO} + \text{∠ODC}) $$
• $$ \text{∠DOC} = 180^{\circ} - (70^{\circ} + 65^{\circ}) = 180^{\circ} - 135^{\circ} = 45^{\circ} $$
3. Нахождение углов треугольника BOA:
• Так как $$ \triangle DOC = \triangle BOA $$, то соответствующие углы равны:
• $$ \text{∠OAB} = \text{∠OCD} = 70^{\circ} $$
• $$ \text{∠OBA} = \text{∠ODC} = 65^{\circ} $$
• $$ \text{∠BOA} = \text{∠DOC} = 45^{\circ} $$
4. Нахождение ∠ABC:
• $$ \text{∠ABC} $$ — это тот же угол, что и $$ \text{∠OBA} $$.
• $$ \text{∠ABC} = 65^{\circ} $$

Ответ: $$ \text{∠ABC} = 65^{\circ} $$