№4. Могут ли две плоскости, каждая из которых перпендикулярна третьей плоскости, быть перпендикулярными плоскостями? Сделайте рисунок. Ответ обоснуйте.

Ответ:

Да, могут.

Обоснование:

Пусть дана плоскость \( \alpha \). Рассмотрим две плоскости \( \beta \) и \( \gamma \), такие, что \( \beta \perp \alpha \) и \( \gamma \perp \alpha \).

Если плоскости \( \beta \) и \( \gamma \) пересекаются, то их линия пересечения \( l \) будет перпендикулярна плоскости \( \alpha \).

Если мы возьмем плоскость \( \beta \) и прямую \( l \) в ней, которая перпендикулярна \( \alpha \), то любая плоскость \( \gamma \), проходящая через \( l \) и перпендикулярная \( \alpha \), будет перпендикулярна \( \beta \).

Пример:

Представим себе комнату. Пол — это плоскость \( \alpha \). Две стены, примыкающие друг к другу по углу комнаты (например, стена слева и стена спереди), являются плоскостями \( \beta \) и \( \gamma \). Каждая из этих стен перпендикулярна полу (плоскости \( \alpha \)).

Линия пересечения этих двух стен — это угол комнаты (ребро), который перпендикулярен полу.

Теперь рассмотрим одну из стен (например, левую стену — \( \beta \)) и потолок (плоскость \( \gamma \)). Потолок перпендикулярен полу \( \alpha \) и также перпендикулярен левой стене \( \beta \), так как они пересекаются по линии, которая перпендикулярна полу.

Рисунок:

В данном случае, \( \alpha \) — пол, \( \beta \) — левая стена, \( \gamma \) — потолок. Линия \( l \) — ребро (угол комнаты), перпендикулярное полу.

Ответ: Да, могут.