№2. КА — перпендикуляр к плоскости треугольника АВС. Известно, что КВ ⊥ ВС. Докажите, что треугольник АВС прямоугольный.

Доказательство:

По условию \( KA \) — перпендикуляр к плоскости \( \triangle ABC \). Это означает, что \( KA \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \( \triangle ABC \) и проходящей через точку \( A \).

Следовательно, \( KA \perp AB \) и \( KA \perp AC \).

Также по условию \( KB \perp BC \).

Рассмотрим плоскость \( KBC \). В этой плоскости проведены две перпендикулярные прямые \( KB \) и \( BC \).

Теперь рассмотрим прямую \( BC \). Она перпендикулярна прямой \( KB \) (по условию).

Также \( BC \) перпендикулярна прямой \( KA \) (так как \( KA \) перпендикулярна плоскости \( \triangle ABC \) и \( BC \) лежит в этой плоскости).

Так как прямая \( BC \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( KB \) и \( KA \) в плоскости \( KAB \), то \( BC \) перпендикулярна плоскости \( KAB \).

Отсюда следует, что \( BC \) перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости \( KAB \) и проходящей через точку \( B \). В частности, \( BC \) перпендикулярна прямой \( AB \).

Таким образом, в \( \triangle ABC \) угол \( B \) прямой, то есть \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Следовательно, \( \triangle ABC \) — прямоугольный.

Доказано.