№3. Дан прямоугольник DCKM и точка Е вне его плоскости. Прямая DE перпендикулярна прямым DC и DM. Докажите, что прямая DE перпендикулярна прямой ДК. Найдите длину отрезка ЕК, если DE = 12 см, DK = 5 см.

Доказательство:

По условию \( DE \perp DC \) и \( DE \perp DM \).

Так как \( DCKM \) — прямоугольник, то \( DC \parallel KM \) и \( DM \parallel CK \).

Так как \( DE \) перпендикулярна двум пересекающимся прямым \( DC \) и \( DM \) в плоскости прямоугольника \( DCKM \), то \( DE \) перпендикулярна всей плоскости \( DCKM \).

Поскольку \( DK \) — диагональ прямоугольника и лежит в плоскости \( DCKM \), то \( DE \) перпендикулярна \( DK \).

Нахождение длины отрезка ЕК:

Мы доказали, что \( DE \perp DK \) и \( DE \perp DC \). Таким образом, \( \triangle DEK \) и \( \triangle DEC \) являются прямоугольными треугольниками с прямым углом при вершине \( D \).

В прямоугольном \( \triangle DEK \) по теореме Пифагора:

\[ EK^2 = DE^2 + DK^2 \]\[ EK^2 = 12^2 + 5^2 \]\[ EK^2 = 144 + 25 \]\[ EK^2 = 169 \]\[ EK = \sqrt{169} \]\[ EK = 13 \]

Ответ: Прямая DE перпендикулярна прямой ДК. Длина отрезка ЕК равна 13 см.