4. К окружности с центром О и радиусом 12 см проведена касательная МК (М - точка касания), Найдите длину отрезка МК, если ОК = 15 см.

Дано:

• Окружность с центром О.
• Радиус r = 12 см.
• Касательная МК.
• М - точка касания.
• ОК = 15 см.

Найти: Длину отрезка МК.

Решение:

По свойству касательной, радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Следовательно, отрезок ОМ перпендикулярен отрезку МК.

Это означает, что треугольник ОМК является прямоугольным, с прямым углом ∠ОМК = 90°.

В этом прямоугольном треугольнике:

• ОМ — это радиус окружности, поэтому ОМ = 12 см.
• ОК — это гипотенуза, ОК = 15 см.
• МК — это один из катетов, который нам нужно найти.

Используем теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ОМК:

\[ ОМ^2 + МК^2 = ОК^2 \]

Подставляем известные значения:

\[ 12^2 + МК^2 = 15^2 \]

\[ 144 + МК^2 = 225 \]

Выразим МК^2:

\[ МК^2 = 225 - 144 \]

\[ МК^2 = 81 \]

Найдем длину МК, извлекая квадратный корень:

\[ МК = \sqrt{81} \]

\[ МК = 9 \]

Ответ: 9 см