3. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, если его основание равно 20, а угол при основании равен 30°.

Дано:

• Равнобедренный треугольник ABC.
• Основание BC = 20.
• Угол при основании ∠B = ∠C = 30°.

Найти: Боковую сторону (AB или AC).

Решение:

В равнобедренном треугольнике боковые стороны равны. Чтобы найти боковую сторону, проведем высоту из вершины A к основанию BC. Пусть эта высота будет AH.

Так как треугольник равнобедренный, высота AH будет также медианой и биссектрисой.

Следовательно, она разделит основание BC пополам:

\[ BH = HC = \frac{BC}{2} = \frac{20}{2} = 10 \]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник ABH. В нем:

• Угол ∠B = 30° (дано).
• Сторона BH = 10 (половина основания).
• Угол ∠AHB = 90° (так как AH — высота).

В прямоугольном треугольнике мы можем использовать тригонометрические соотношения.

Нам нужно найти гипотенузу AB.

Мы знаем прилежащий катет BH к углу 30° и хотим найти гипотенузу.

Используем косинус:

\[ \cos(\angle B) = \frac{BH}{AB} \]

\[ \cos(30^{\circ}) = \frac{10}{AB} \]

Значение косинуса 30° равно
\( \frac{\sqrt{3}}{2} \).

\[ \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{10}{AB} \]

Выразим AB:

\[ AB = \frac{10 \times 2}{\sqrt{3}} \]

\[ AB = \frac{20}{\sqrt{3}} \]

Чтобы избавиться от корня в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на
\( \sqrt{3} \):

\[ AB = \frac{20 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \frac{20\sqrt{3}}{3} \]

Сравним полученный результат с вариантами ответов:

• 1)
  \( \frac{10}{\sqrt{3}} \)
• 2)
  \( 10\sqrt{3} \)
• 3)
  \( \frac{20\sqrt{3}}{3} \)
• 4)
  \( \frac{20}{\sqrt{3}} \)

Наш результат
\( \frac{20\sqrt{3}}{3} \) соответствует варианту 3.

Ответ: 3