4. Хорда окружности равна а и стягивает дугу в 60°. Найдите: а) длину дуги; б) площадь сектора, ограниченного этой дугой и двумя радиусами.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

а) Длина дуги:

1. Найдем радиус окружности (R).
2. Хорда (a) и два радиуса (R) образуют равнобедренный треугольник. Центральный угол, стягивающий дугу в 60°, равен 60°.
3. Так как треугольник равнобедренный и угол при вершине равен 60°, то это равносторонний треугольник. Следовательно, R = a.
4. Найдем длину дуги (L).
5. Формула длины дуги: \( L = \frac{\pi R \theta}{180°} \), где θ — центральный угол в градусах.
6. В нашем случае R = a, θ = 60°.
7. \( L = \frac{\pi a \times 60°}{180°} \)
8. \( L = \frac{\pi a}{3} \)

б) Площадь сектора:

1. Найдем площадь сектора (S).
2. Формула площади сектора: \( S = \frac{\pi R^2 \theta}{360°} \).
3. В нашем случае R = a, θ = 60°.
4. \( S = \frac{\pi a^2 \times 60°}{360°} \)
5. \( S = \frac{\pi a^2}{6} \)

Ответ:

• а) Длина дуги: \( L = \frac{\pi a}{3} \)
• б) Площадь сектора: \( S = \frac{\pi a^2}{6} \)