4. Функция задана формулой y = 4/x. При каких значениях x: а) функция принимает значение, равное: 8; -8; б) функция принимает значение, меньшее 4; в) функция принимает значение, большее 2?

Дана функция y = 4/x. Область определения: x ≠ 0.

а) Функция принимает значение, равное 8; -8.

• Если y = 8:8 = 4/x. Умножим обе части на x: 8x = 4. Разделим на 8: x = 4/8 = 1/2.
• Если y = -8:-8 = 4/x. Умножим обе части на x: -8x = 4. Разделим на -8: x = 4/(-8) = -1/2.

б) Функция принимает значение, меньшее 4.

y < 4

4/x < 4

Перенесем 4 в левую часть:

4/x - 4 < 0

Приведем к общему знаменателю:

(4 - 4x) / x < 0

Решим неравенство методом интервалов. Корни числителя и знаменателя:

• 4 - 4x = 0 ⇒ 4 = 4x ⇒ x = 1
• x = 0

Рассмотрим интервалы:

• x < 0: Возьмем x = -1. (4 - 4*(-1)) / -1 = (4 + 4) / -1 = 8 / -1 = -8 (-8 < 0). Подходит.
• 0 < x < 1: Возьмем x = 0.5. (4 - 4*0.5) / 0.5 = (4 - 2) / 0.5 = 2 / 0.5 = 4 (4 > 0). Не подходит.
• x > 1: Возьмем x = 2. (4 - 4*2) / 2 = (4 - 8) / 2 = -4 / 2 = -2 (-2 < 0). Подходит.

Таким образом, y < 4 при x < 0 или x > 1.

в) Функция принимает значение, большее 2.

y > 2

4/x > 2

Перенесем 2 в левую часть:

4/x - 2 > 0

Приведем к общему знаменателю:

(4 - 2x) / x > 0

Корни числителя и знаменателя:

• 4 - 2x = 0 ⇒ 4 = 2x ⇒ x = 2
• x = 0

Рассмотрим интервалы:

• x < 0: Возьмем x = -1. (4 - 2*(-1)) / -1 = (4 + 2) / -1 = 6 / -1 = -6 (-6 < 0). Не подходит.
• 0 < x < 2: Возьмем x = 1. (4 - 2*1) / 1 = (4 - 2) / 1 = 2 / 1 = 2 (2 > 0). Подходит.
• x > 2: Возьмем x = 3. (4 - 2*3) / 3 = (4 - 6) / 3 = -2 / 3 (-2/3 < 0). Не подходит.

Таким образом, y > 2 при 0 < x < 2.

Ответ:

• а) x = 1/2 (для y=8); x = -1/2 (для y=-8).
• б) x < 0 или x > 1.
• в) 0 < x < 2.