4. Функция задана формулой y = 4/x. При каких значениях х: а) функция принимает значение, равное: 8; -8; б) функция принимает значение, меньшее 4; в) функция принимает значение, большее 2?

Решение:

Функция задана формулой y = ⅔⁄ₓ

а) При каких значениях x функция принимает значение, равное 8; -8?

• Если y = 8:

  ⅔⁄ₓ = 8

  ₓ = ⅔⁄₈ = ½

• Если y = -8:

  ⅔⁄ₓ = -8

  ₓ = ⅔⁄⁻₈ = -½

б) При каких значениях x функция принимает значение, меньшее 4?

Нужно решить неравенство: y < 4

⅔⁄ₓ < 4

Рассмотрим два случая:

1. Если x > 0:

• ⅔ < 4x
• 4 < 4x
• 1 < x

Таким образом, при x > 1, функция принимает значения меньше 4.

1. Если x < 0:

• При умножении неравенства на отрицательное число x, знак неравенства меняется на противоположный:
• 4 > 4x
• 1 > x

Так как мы рассматриваем случай x < 0, то условие x < 1 выполняется автоматически. Таким образом, при x < 0, функция принимает значения меньше 4.

Объединяя оба случая, получаем: x ∈ (-∞, 0) ∪ (1, +∞).

в) При каких значениях x функция принимает значение, большее 2?

Нужно решить неравенство: y > 2

⅔⁄ₓ > 2

Рассмотрим два случая:

1. Если x > 0:

• ⅔ > 2x
• 4 > 2x
• 2 > x

Так как мы рассматриваем случай x > 0, то решением будет 0 < x < 2.

1. Если x < 0:

• При умножении неравенства на отрицательное число x, знак неравенства меняется на противоположный:
• 4 < 2x
• 2 < x

Так как мы рассматриваем случай x < 0, а получили x > 2, то в этом случае решений нет.

Таким образом, при 0 < x < 2, функция принимает значения больше 2.

Ответ:

• а) y = 8 при x = ½; y = -8 при x = -½.
• б) y < 4 при x ∈ (-∞, 0) ∪ (1, +∞).
• в) y > 2 при x ∈ (0, 2).