4. Функция y=−1/3 x+2 пересекает оси координат в точках А и В. Найти площадь прямоугольного треугольника АОВ, где О — начало координат.

Задание 4. Площадь треугольника по точкам пересечения с осями

Дано:

• Функция: \( y = -\frac{1}{3}x + 2 \)
• Начало координат: \( O(0; 0) \)

Найти: площадь прямоугольного треугольника АОВ.

Решение:

1. Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат, нужно подставить значения 0 для одной из координат и найти другую.
2. Точка пересечения с осью Oy (ось абсцисс): Положим \( x = 0 \).
3. \[ y = -\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \]
4. \[ y = 2 \]
5. Итак, одна точка (пусть будет A) имеет координаты \( A(0; 2) \).
6. Точка пересечения с осью Ox (ось ординат): Положим \( y = 0 \).
7. \[ 0 = -\frac{1}{3}x + 2 \]
8. Вычтем 2 из обеих частей:
9. \[ -2 = -\frac{1}{3}x \]
10. Умножим обе части на -3:
11. \[ (-2) \cdot (-3) = x \]
12. \[ x = 6 \]
13. Итак, другая точка (пусть будет B) имеет координаты \( B(6; 0) \).
14. Теперь у нас есть три точки, образующие прямоугольный треугольник: \( O(0; 0) \), \( A(0; 2) \), \( B(6; 0) \).
15. Катетами этого треугольника являются отрезки OA и OB, которые лежат на осях координат.
16. Длина катета OA равна абсолютной величине y-координаты точки A: \( |y_A| = |2| = 2 \).
17. Длина катета OB равна абсолютной величине x-координаты точки B: \( |x_B| = |6| = 6 \).
18. Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов:
19. \[ S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot OA \cdot OB \]
20. Подставим значения:
21. \[ S_{AOB} = \frac{1}{2} \cdot 2 \cdot 6 \]
22. \[ S_{AOB} = 6 \]

Ответ: Площадь прямоугольного треугольника АОВ равна 6.