4. Две окружности с центрами в точках О и О₁ касаются в точке А. Угол, образованный хордами СЕ и DE окружности с центром в точке О₁, равен 15°. Найдите градусную меру угла в.

Решение:

Угол \( \angle CED = 15^{\circ} \) — вписанный угол в окружность с центром \( O_1 \). Он опирается на дугу CD.

Центральный угол \( \angle COD \) равен удвоенному вписанному углу, который опирается на ту же дугу:

\( \angle COD = 2 \cdot \in \angle CED \) = \( 2 \cdot \in 15^{\circ} = 30^{\circ} \).

Так как окружности касаются в точке А, центр меньшей окружности \( O_1 \) и центр большей окружности \( O \) лежат на одной прямой, проходящей через А.

Угол \( \angle CAD \) — вписанный в большую окружность и опирается на дугу CD. Он равен половине центрального угла \( \angle COD \).

\( \angle CAD = \frac{1}{2} \angle COD = \frac{1}{2} \cdot \in 30^{\circ} = 15^{\circ} \).

В треугольнике \( \triangle OAE \) OA = OE (радиусы большой окружности), значит, \( \triangle OAE \) — равнобедренный.

В треугольнике \( \triangle O_1 AE \) \( O_1 A = O_1 E \) (радиусы меньшей окружности), значит, \( \triangle O_1 AE \) — равнобедренный.

Угол \( \beta \) — это угол \( \angle OEB \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OEB \). \( OB = OE \) (радиусы большей окружности), поэтому \( \triangle OEB \) — равнобедренный. Угол \( \angle OBE = \angle OEB = \beta \).

Рассмотрим треугольник \( \triangle O_1 DE \). \( O_1 D = O_1 E \), поэтому \( \triangle O_1 DE \) — равнобедренный. Угол \( \angle O_1 DE = \angle O_1 ED \).

Угол \( \angle OAE = \angle CAE = 15^{\circ} \). Так как \( \triangle OAE \) равнобедренный, \( \angle OEA = \angle OAE = 15^{\circ} \).

Угол \( \angle AEB \) — развернутый, но это не всегда так. Точки A, O, O₁, B лежат на одной прямой.

Угол \( \angle AOE = 180^{\circ} - \angle OAE - \angle OEA = 180^{\circ} - 15^{\circ} - 15^{\circ} = 150^{\circ} \).

Теперь найдем \( \beta \).

Рассмотрим \( \triangle OEB \). \( \angle EOB \) — смежный с \( \angle AOE \) (если A, O, B — одна прямая, что следует из того, что А — точка касания, а O и O₁ — центры). Тогда \( \angle EOB = 180^{\circ} - 150^{\circ} = 30^{\circ} \).

Так как \( \triangle OEB \) равнобедренный, \( \angle OBE = \angle OEB = \beta = \frac{180^{\circ} - 30^{\circ}}{2} = \frac{150^{\circ}}{2} = 75^{\circ} \).

Ответ: 75°.