2. Угол между диаметром АВ и хордой АС окружности равен 30°. Через точку С проведена касательная к окружности, которая пересекает прямую АВ в точке Д. Определите вид треугольника ACD.

Решение:

Так как AB — диаметр, угол ACB является вписанным и опирается на диаметр. Следовательно, \( \angle ACB = 90^{\circ} \).

В треугольнике ABC:

\( \angle ABC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Угол ABC является центральным углом, опирающимся на дугу AC, и вписанным углом, опирающимся на дугу AC. Но тут не центральный угол. Угол ABC — вписанный, опирается на дугу AC. Значит, центральный угол AOC равен \( 2 \times 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

Угол \( \angle CAD \) — это внешний угол треугольника ABC, равный сумме двух других углов: \( \angle CAD = \angle ACB + \angle ABC = 90^{\circ} + 60^{\circ} = 150^{\circ} \). Это не угол треугольника ACD.

Рассмотрим треугольник ACD.

Угол \( \angle CAB = 30^{\circ} \).

Угол \( \angle ACD \) — это угол между касательной CD и хордой AC. Он равен половине дуги AC, то есть \( \angle ACD = \frac{1}{2} \text{ дуги } AC \). Так как центральный угол AOC равен 60°, то \( \angle ACD = \frac{60^{\circ}}{2} = 30^{\circ} \).

В треугольнике ACD:

\( \angle CAD = 30^{\circ} \)

\( \angle ACD = 30^{\circ} \)

Следовательно, \( \angle ADC = 180^{\circ} - 30^{\circ} - 30^{\circ} = 120^{\circ} \).

Так как \( \angle CAD = \angle ACD = 30^{\circ} \), то треугольник ACD является равнобедренным.

Ответ: 1. Равнобедренный.