4. Два автомобиля выезжают одновременно из одного города в другой, находящийся на расстоянии 560 км. Скорость первого на 10 км/ч больше скорости второго, и поэтому первый автомобиль приезжает на место на 1 ч раньше второго. Определите скорость каждого автомобиля.

4. Находим скорости автомобилей:

Пусть:

• $$v_1$$ — скорость первого автомобиля (км/ч)
• $$v_2$$ — скорость второго автомобиля (км/ч)
• $$t_1$$ — время в пути первого автомобиля (ч)
• $$t_2$$ — время в пути второго автомобиля (ч)

Дано:

• Расстояние $$S = 560$$ км
• $$v_1 = v_2 + 10$$
• $$t_1 = t_2 - 1$$

Решение:

1. Вспомним формулу: Расстояние = Скорость × Время ($$S = v \times t$$).
2. Выразим время через скорость и расстояние:
   \[ t_1 = \frac{S}{v_1} \]
   \[ t_2 = \frac{S}{v_2} \]
3. Подставим известные значения в уравнение времени:
   \[ \frac{560}{v_1} = \frac{560}{v_2} - 1 \]
4. Заменим $$v_1$$ на $$v_2 + 10$$:
   \[ \frac{560}{v_2 + 10} = \frac{560}{v_2} - 1 \]
5. Решим полученное уравнение относительно $$v_2$$:
   Перенесем все члены в одну сторону:
   \[ \frac{560}{v_2 + 10} - \frac{560}{v_2} + 1 = 0 \]
   Приведем к общему знаменателю \( v_2(v_2 + 10) \):
   \[ \frac{560 v_2 - 560(v_2 + 10) + v_2(v_2 + 10)}{v_2(v_2 + 10)} = 0 \]
   Умножим числитель на \( v_2(v_2 + 10) \), чтобы избавиться от знаменателя (при условии, что \( v_2 \neq 0 \) и \( v_2 \neq -10 \)):
   \[ 560 v_2 - 560 v_2 - 5600 + v_2^2 + 10 v_2 = 0 \]
   Упростим:
   \[ v_2^2 + 10 v_2 - 5600 = 0 \]
6. Решим квадратное уравнение, используя дискриминант:
   $$D = b^2 - 4ac = 10^2 - 4(1)(-5600) = 100 + 22400 = 22500$$
   \[ \sqrt{D} = \sqrt{22500} = 150 \]
   Найдем корни:
   \[ v_2 = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
   \[ v_2 = \frac{-10 \pm 150}{2} \]
   Два возможных значения для \( v_2 \):
   \[ v_{2,1} = \frac{-10 + 150}{2} = \frac{140}{2} = 70 \]
   \[ v_{2,2} = \frac{-10 - 150}{2} = \frac{-160}{2} = -80 \]
7. Выберем подходящий корень:
   Скорость не может быть отрицательной, поэтому \( v_2 = 70 \) км/ч.
8. Найдем скорость первого автомобиля:
   \[ v_1 = v_2 + 10 = 70 + 10 = 80 \] км/ч.

Проверка:
Время первого: \( t_1 = \frac{560}{80} = 7 \) ч.
Время второго: \( t_2 = \frac{560}{70} = 8 \) ч.
Разница во времени: \( 8 - 7 = 1 \) ч. Условие выполнено.

Ответ: Скорость первого автомобиля 80 км/ч, скорость второго автомобиля 70 км/ч.