№ 4. Боковая сторона равнобедренного треугольника делится точкой касания вписанной окружности в отношении 3: 4, считая от вершины угла при основании треугольника. Найдите боковую сторону треугольника, если его основание равно 12 см.

Пусть боковая сторона равна $$a$$, основание $$b=12$$. Точка касания делит боковую сторону на отрезки $$x$$ и $$y$$, где $$x:y = 3:4$$. Следовательно, $$x = 3k$$ и $$y = 4k$$, а $$a = x+y = 7k$$.

По свойству касательных, проведенных из вершины угла при основании, отрезки от вершины до точки касания равны. Пусть $$c$$ - отрезок от вершины угла при основании до точки касания на боковой стороне, $$c=x=3k$$. Тогда $$y=4k$$ - отрезок от точки касания до вершины противоположного угла.

В равнобедренном треугольнике, если $$a$$ - боковая сторона, $$b$$ - основание, $$r$$ - радиус вписанной окружности, то $$r^2 = \frac{b}{2} \frac{a - \frac{b}{2}}{a + \frac{b}{2}}$$. Также, $$x = \frac{a+b/2-a}{2}$$ и $$y = \frac{a+b/2+a}{2}$$.

Из условия $$x:y = 3:4$$, $$x = 3k$$, $$y = 4k$$. $$a = 7k$$. $$b=12$$. $$b/2 = 6$$. Отрезки от вершины угла при основании до точек касания на боковых сторонах равны $$x=3k$$. Отрезки от вершины противоположного угла до точек касания на боковых сторонах равны $$y=4k$$. Таким образом, $$a = x+y = 3k+4k = 7k$$.

По формуле для радиуса вписанной окружности в равнобедренном треугольнике: $$r = \frac{b}{2} \tan(\frac{\beta}{2})$$, где $$\beta$$ - угол при основании. Также, $$x = p-a$$, $$y = p-b$$, где $$p$$ - полупериметр. $$p = (a+a+b)/2 = a+b/2 = 7k+6$$. $$x = (7k+6) - 7k = 6$$. $$y = (7k+6) - 12 = 7k-6$$.

Из $$x:y = 3:4$$, имеем $$6:(7k-6) = 3:4$$. $$24 = 3(7k-6) \rightarrow 8 = 7k-6 \rightarrow 7k = 14 \rightarrow k=2$$. Боковая сторона $$a = 7k = 7*2 = 14$$ см.