4) Биссектрисы FB и LM \( \triangle LFP \) пересекаются в точке O. Найти углы \( \triangle LFB \), если \( \angle LFP = 70^{\circ}, \angle BOM = 98^{\circ} \).

Решение:

• FB и LM — биссектрисы углов \( \angle L \) и \( \angle F \) соответственно в \( \triangle LFP \).
• \( \angle LFP = 70^{\circ} \). Так как LM — биссектриса, то \( \angle LFM = \angle MLP = \frac{1}{2} \angle LFP = \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ} \).
• Рассмотрим \( \triangle FOM \). Угол \( \angle BOM = 98^{\circ} \) — внешний угол для \( \triangle FOM \).
• \( \angle BOM = \angle OFM + \angle OMF \).
• \( \angle OFM = \angle LFM = 35^{\circ} \) (так как \( \angle LFM \) — это \( \angle F \) в \( \triangle FOM \)).
• \( 98^{\circ} = 35^{\circ} + \angle OMF \)
• \( \angle OMF = 98^{\circ} - 35^{\circ} = 63^{\circ} \).
• \( \angle OMF \) является частью угла \( \angle F \), а также часть угла \( \angle M \) в \( \triangle LFB \).
• \( \angle LFB = \angle LFM + \angle MFB = 35^{\circ} + \angle MFB \).
• \( \angle OMF = 63^{\circ} \) — это \( \angle FMO \).
• \( \angle FMO \) также является углом \( \angle M \) в \( \triangle LFM \).
• В \( \triangle FOM \): \( \angle F = 35^{\circ}, \angle M = 63^{\circ} \). \( \angle FOM = 180^{\circ} - 35^{\circ} - 63^{\circ} = 180^{\circ} - 98^{\circ} = 82^{\circ} \).
• \( \angle FOM \) и \( \angle BOM \) — смежные углы, их сумма 180°. \( \angle FOM + \angle BOM = 180^{\circ} \). \( 82^{\circ} + 98^{\circ} = 180^{\circ} \). Это подтверждает расчеты.
• Теперь найдем углы \( \triangle LFB \).
• \( \angle LFB = 70^{\circ} \).
• FB — биссектриса угла \( \angle L \).
• \( \angle L = ? \)
• \( \angle F = 70^{\circ} \) (это \( \angle LFP \)).
• \( \angle LFB \) — это \( \triangle LFB \).
• LM — биссектриса \( \angle LFP \).
• FB — биссектриса \( \angle L \).
• \( \angle LFP = 70^{\circ} \).
• \( \angle BOM = 98^{\circ} \).
• Мы нашли \( \angle LFM = 35^{\circ} \) и \( \angle FMO = 63^{\circ} \).
• \( \angle M \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBM \). \( \angle M \) в \( \triangle LFP \) — это \( \angle F \).
• У нас есть \( \triangle LFB \).
• FB — биссектриса \( \angle L \).
• LM — биссектриса \( \angle F \).
• \( \angle LFP = 70^{\circ} \).
• \( \angle BOM = 98^{\circ} \).
• В \( \triangle LFM \), \( \angle LFM = 35^{\circ} \).
• \( \angle FOM = 82^{\circ} \).
• \( \angle L = ? \)
• \( \angle B \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBF \).
• \( \angle L \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle FLB \).
• \( \angle F \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle BFL \). \( \angle BFL = 35^{\circ} \) (половина \( \angle LFP \)).
• \( \angle OMF = 63^{\circ} \). Это угол \( \angle FMO \).
• \( \angle M \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBM \).
• \( \angle BOM = 98^{\circ} \) — угол между биссектрисами FB и LM.
• В \( \triangle LBF \), \( \angle L + \angle B + \angle F = 180^{\circ} \).
• \( \angle F = 35^{\circ} \).
• \( \angle L = ? \)
• \( \angle B = ? \)
• Из \( \triangle FOM \), \( \angle OFM = 35^{\circ} \), \( \angle FOM = 82^{\circ} \), \( \angle OMF = 63^{\circ} \).
• \( \angle LFM = 35^{\circ} \).
• \( \angle OMF = 63^{\circ} \). \( \angle FMO = 63^{\circ} \). \( \angle M \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBM \).
• \( \angle L = \angle FLB \).
• \( \angle B = \angle LBF \).
• \( \angle F = \angle BFL = 35^{\circ} \).
• \( \angle M \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBM \). \( \angle OMF = 63^{\circ} \). \( \angle LBM = 2 imes ext{угол между биссектрисами} \) — нет, это неверно.
• \( \angle M \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBM \).
• \( \angle F \) в \( \triangle LFB \) — \( \angle BFL = 35^{\circ} \).
• \( \angle L \) в \( \triangle LFB \) — \( \angle FLB \).
• \( \angle B \) в \( \triangle LFB \) — \( \angle LBF \).
• \( \angle LFP = 70^{\circ} \). \( \angle L = \alpha \), \( \angle F = 70^{\circ} \), \( \angle P = \beta \). \( \alpha + 70^{\circ} + \beta = 180^{\circ} \) \( \alpha + \beta = 110^{\circ} \).
• LM — биссектриса \( \angle F \), \( \angle LFM = \angle MLP = 35^{\circ} \).
• FB — биссектриса \( \angle L \), \( \angle LFB = \angle BFP = \alpha/2 \).
• В \( \triangle FOM \): \( \angle OFM = 35^{\circ} \), \( \angle OMF = 63^{\circ} \), \( \angle FOM = 82^{\circ} \).
• \( \angle OMF = 63^{\circ} \) — это \( \angle FMO \).
• \( \angle FMO = 63^{\circ} \).
• \( \angle LBM = 98^{\circ} \) — это \( \angle BOM \).
• \( \angle L = \alpha \). \( \angle LBF = \alpha/2 \). \( \angle BFL = 35^{\circ} \). \( \angle LBF = ? \)
• \( \angle M \) в \( \triangle LFB \) — это \( \angle LBM \). \( \angle OMF = 63^{\circ} \).
• \( \angle LBM = \angle OMF = 63^{\circ} \). \( \angle LBM \) — это \( \angle B \) в \( \triangle LFB \).
• \( \angle LBF = \alpha/2 \).
• \( \angle LBM \) — это \( \angle OMF \) — это неверно. \( \angle OMF \) — это \( \angle FMO \).
• \( \angle LBF = \alpha/2 \). \( \angle BFL = 35^{\circ} \). \( \angle FLB = \alpha \).
• В \( \triangle LFB \): \( \angle L + \angle F + \angle B = 180^{\circ} \).
• \( \alpha + 35^{\circ} + \angle LBF = 180^{\circ} \).
• \( \angle LBF = 145^{\circ} - \alpha \).
• \( \angle LBF \) — это \( \alpha/2 \).
• \( \alpha/2 = 145^{\circ} - \alpha \). \( 3 \alpha/2 = 145^{\circ} \). \( \alpha = 145^{\circ} imes 2 / 3 = 290/3 \) - не целое.
• \( \angle BOM = 98^{\circ} \) — угол между биссектрисами FB и LM.
• Формула для угла между биссектрисами: \( \angle BOM = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle P \).
• \( 98^{\circ} = 90^{\circ} + \frac{1}{2} \angle P \).
• \( 8^{\circ} = \frac{1}{2} \angle P \). \( \angle P = 16^{\circ} \).
• \( \angle LFP = 70^{\circ} \).
• \( \angle L = \alpha \), \( \angle F = 70^{\circ} \), \( \angle P = 16^{\circ} \).
• \( \alpha + 70^{\circ} + 16^{\circ} = 180^{\circ} \).
• \( \alpha + 86^{\circ} = 180^{\circ} \).
• \( \alpha = 180^{\circ} - 86^{\circ} = 94^{\circ} \).
• Углы \( \triangle LFP \): \( \angle L = 94^{\circ}, \angle F = 70^{\circ}, \angle P = 16^{\circ} \).
• Теперь найдем углы \( \triangle LFB \).
• FB — биссектриса \( \angle L \), значит \( \angle LFB = \angle LFP = \frac{1}{2} \angle L = \frac{1}{2} \cdot 94^{\circ} = 47^{\circ} \).
• LM — биссектриса \( \angle F \), значит \( \angle FLM = \angle MLP = \frac{1}{2} \angle F = \frac{1}{2} \cdot 70^{\circ} = 35^{\circ} \).
• В \( \triangle LFB \):
• \( \angle FLB = \angle L = 94^{\circ} \).
• \( \angle LBF = \angle P = 16^{\circ} \) (так как \( \angle P \) — это \( \angle LPF \)).
• \( \angle BFL = 35^{\circ} \).
• Проверим сумму углов \( \triangle LFB \): \( 94^{\circ} + 16^{\circ} + 35^{\circ} = 145^{\circ} \) - не 180°.
• Ошибка в предположении, что \( \angle LBF = \angle P \). \( \angle LBF \) — это угол \( \angle B \) в \( \triangle LFB \).
• \( \angle L \) в \( \triangle LFB \) — \( \angle FLB = 94^{\circ} \).
• \( \angle F \) в \( \triangle LFB \) — \( \angle BFL = 35^{\circ} \).
• \( \angle B \) в \( \triangle LFB \) — \( \angle LBF \).
• \( \angle LBF = 180^{\circ} - 94^{\circ} - 35^{\circ} = 180^{\circ} - 129^{\circ} = 51^{\circ} \).
• Углы \( \triangle LFB \): \( \angle L = 94^{\circ}, \angle F = 35^{\circ}, \angle B = 51^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника LFB равны \( \angle L = 94^{\circ}, \angle B = 51^{\circ}, \angle F = 35^{\circ} \).