3) В \( \triangle ABS \) проведена биссектриса AP. \( \angle PAS = 32^{\circ}, \angle APB = 58^{\circ} \). Найти углы треугольника ABS.

Решение:

• AP — биссектриса, значит, она делит \( \angle BAS \) пополам.
• \( \angle PAS = 32^{\circ} \), следовательно, \( \angle PAB = 32^{\circ} \).
• \( \angle BAS = \angle PAS + \angle PAB = 32^{\circ} + 32^{\circ} = 64^{\circ} \).
• Рассмотрим \( \triangle APB \). Сумма углов треугольника равна 180°.
• \( \angle BAP + \angle ABP + \angle APB = 180^{\circ} \)
• \( 32^{\circ} + \angle ABP + 58^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( \angle ABP + 90^{\circ} = 180^{\circ} \)
• \( \angle ABP = 180^{\circ} - 90^{\circ} = 90^{\circ} \).
• \( \angle ABS = \angle ABP = 90^{\circ} \) (так как \( \angle ABP \) — это угол \( \angle B \) треугольника \( \triangle ABS \)).
• Теперь найдем \( \angle ASB \) в \( \triangle ABS \).
• \( \angle BAS + \angle ABS + \angle ASB = 180^{\circ} \)
• \( 64^{\circ} + 90^{\circ} + \angle ASB = 180^{\circ} \)
• \( 154^{\circ} + \angle ASB = 180^{\circ} \)
• \( \angle ASB = 180^{\circ} - 154^{\circ} = 26^{\circ} \).

Ответ: Углы треугольника ABS равны: \( \angle A = 64^{\circ}, \angle B = 90^{\circ}, \angle S = 26^{\circ} \).