4.5. На окружности даны последовательно четыре точки А, В, С, Д такие, что дуги АВ и CD равны. Укажите другие пары равных дуг с концами в данных точках. Рассмотрите специальные случаи:

Решение:

Если дуги \( AB = CD \), то другие пары равных дуг с концами в данных точках:

• \( AC = BD \) (если добавить дуги \( BC \) к \( AB \) и \( BC \) к \( CD \)).
• \( AD = BC \) (если рассмотреть полные окружности, отняв равные дуги).

Специальные случаи:

а) точка В является серединой дуги АС:

Если \( B \) — середина дуги \( AC \), то \( AB = BC \).

Так как по условию \( AB = CD \), то имеем: \( AB = BC = CD \).

Тогда равные дуги:

• \( AB = BC = CD \)
• \( AD = BC \)
• \( AC = BD \) (так как \( AC = AB + BC \) и \( BD = BC + CD \), а \( AB = CD \), значит \( AC = BD \)).

б) дуги АВ, BC, CD и DA равны:

Если \( AB = BC = CD = DA \), то это означает, что все четыре дуги равны между собой, то есть образуют правильный четырехугольник (квадрат).

В этом случае все пары дуг равны: \( AB = BC = CD = DA \) и \( AC = BD \).