4. * Дано: ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, ME = 10 см (рис. 5.90). а) Между какими целыми числами заключена длина отрезка ЕР? б) Найдите длину медианы PD.

Разберемся с каждым пунктом: **Дано:** * ∠EPM = 90° * ∠MEP = 30° * ME = 10 см **Решение:** **a) Длина отрезка EP:** 1. **Определение углов в треугольнике:** * В ΔMEP сумма углов равна 180°. * ∠EPM = 90°, ∠MEP = 30°, следовательно ∠EMP = 180° - 90° - 30° = 60° 2. **Свойства прямоугольного треугольника с углом 30°:** * В прямоугольном треугольнике с углом 30°, катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. * В нашем случае, катет EP лежит против угла 60°. 3. **Тангенс угла:** * tg(∠MEP) = EP / ME. * tg(30°) = EP / 10. * EP = 10 * tg(30°) = 10 * (√3/3) ≈ 10 * 0.577 ≈ 5.77 см 4. **Целые числа:** * Так как 5 < 5.77 < 6, длина отрезка EP заключена между целыми числами 5 и 6. **б) Длина медианы PD:** 1. **Медиана в прямоугольном треугольнике:** * Медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. * В ΔMEP, PD - медиана из прямого угла P, поэтому PD = ME / 2 2. **Найдем гипотенузу:** * Используем свойство прямоугольного треугольника с углом 30° * EP лежит против угла 60°, значит ME = гипотенуза/2 * sqrt(3). * ME = 10 = гипотенуза / 2 * sqrt(3). * Гипотенуза = 20/sqrt(3). * Гипотенуза = (20 * sqrt(3)) / 3. * Гипотенуза = MP = (20 * sqrt(3)) / 3. * Тогда MP = 20 / sqrt(3) * Косинус 30 градусов = ME / MP. * MP = ME / cos(30) = 10 / (sqrt(3) / 2) = 20 / sqrt(3) = (20 * sqrt(3)) / 3. 3. **Длина медианы PD:** * PD = MP / 2. * PD = (20 * sqrt(3)) / 6 = 10/sqrt(3) = 10*sqrt(3)/3 * PD ≈ 10 * 1.732/3 ≈ 5.77 **Ответ:** * а) Длина отрезка EP заключена между целыми числами **5 и 6**. * б) Длина медианы PD равна **(10 * sqrt(3))/3 ≈ 5.77 см**.