356. Докажите тождество: 1) sin φ / (1 + cos φ) = (1 - cos φ) / sin φ

Привет! Давай разберем это тригонометрическое тождество. Наша цель — показать, что левая часть равна правой.

1. Работаем с левой частью:

   У нас есть \[ \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} \].

   Чтобы получить правую часть, давай умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение к знаменателю, то есть на (1 - cos φ).

   \[ \frac{\sin \varphi}{1 + \cos \varphi} \times \frac{1 - \cos \varphi}{1 - \cos \varphi} = \frac{\sin \varphi (1 - \cos \varphi)}{(1 + \cos \varphi)(1 - \cos \varphi)} \]

2. Упрощаем знаменатель:

   В знаменателе у нас разность квадратов: (1 + cos φ)(1 - cos φ) = 1^2 - cos^2 φ = 1 - cos^2 φ.

   По основному тригонометрическому тождеству, sin^2 φ + cos^2 φ = 1. Отсюда, 1 - cos^2 φ = sin^2 φ.

   Теперь наша дробь выглядит так:

   \[ \frac{\sin \varphi (1 - \cos \varphi)}{\sin^2 \varphi} \]

3. Сокращаем дробь:

   Мы можем сократить sin φ в числителе и одну степень sin φ в знаменателе:

   \[ \frac{\cancel{\sin \varphi} (1 - \cos \varphi)}{\sin^{\cancel{2}} \varphi} = \frac{1 - \cos \varphi}{\sin \varphi} \]

Мы получили правую часть исходного тождества. Тождество доказано!

Ответ: Тождество доказано.