32.3. Вычислите: 1) $\operatorname{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt2}{2})$; 2) $\cos(2\arctg1)$; 3) $\cos(\frac12\arcsin\frac{\sqrt3}{2})$; 4) $\operatorname{ctg}(2\operatorname{arcctg}(-\sqrt3))$; 5) $\sin(3\arcsin(-\frac{\sqrt3}{2}))$; 6) $\operatorname{tg}(2\operatorname{arctg}(-\frac1{\sqrt3})+\frac\pi6)$; 7) $\sin(\arcsin\frac{\sqrt2}{2}+2\arctg1)$.

Question

$Фото задания: 32.3. Вычислите: 1) $\operatorname{ctg}(\arcsin\frac{\sqrt2}{2})$; 2) $\cos(2\arctg1)$; 3)…$ Фото задания

Accepted Answer

$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac\pi4$, поэтому $\operatorname{ctg}\frac\pi4=1$.
$\arctg1=\frac\pi4$, поэтому $\cos(2\cdot\frac\pi4)=\cos\frac\pi2=0$.
$\arcsin\frac{\sqrt3}{2}=\frac\pi3$, поэтому $\cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2}$.
$\operatorname{arcctg}(-\sqrt3)=\frac{5\pi}{6}$, поэтому $\operatorname{ctg}\frac{5\pi}{3}=\frac1{\sqrt3}=\frac{\sqrt3}{3}$.
$\arcsin(-\frac{\sqrt3}{2})=-\frac\pi3$, поэтому $\sin(-\pi)=0$.
$\operatorname{arctg}(-\frac1{\sqrt3})=-\frac\pi6$, поэтому $\operatorname{tg}(-\frac\pi3+\frac\pi6)=\operatorname{tg}(-\frac\pi6)=-\frac1{\sqrt3}=-\frac{\sqrt3}{3}$.
$\arcsin\frac{\sqrt2}{2}=\frac\pi4$, $2\operatorname{arctg}1=\frac\pi2$, поэтому $\sin\frac{3\pi}{4}=\frac{\sqrt2}{2}$.

Ответ: 1) 1; 2) 0; 3) $\frac{\sqrt3}{2}$; 4) $\frac{\sqrt3}{3}$; 5) 0; 6) $-\frac{\sqrt3}{3}$; 7) $\frac{\sqrt2}{2}$.