31.16. Решите систему уравнений: 1) 6x + 5y = 10, 8x - 5y = 32, 3x + 10y = -7; 2) x - 2y = 1, 2x + y = 7, 4x + y = 14.

Решение:

1. Система 1:

   Проверим, существует ли решение, решив первые два уравнения, а затем подставим найденные значения в третье.

   Шаг 1: Решим первые два уравнения:

   \[ \begin{cases} 6x + 5y = 10 \\ 8x - 5y = 32 \end{cases} \]

   Сложим уравнения, так как коэффициенты при y противоположны:

   \[ (6x + 5y) + (8x - 5y) = 10 + 32 \]

   \[ 14x = 42 \]

   \[ x = 3 \]

   Подставим x=3 в первое уравнение:

   \[ 6(3) + 5y = 10 \]

   \[ 18 + 5y = 10 \]

   \[ 5y = 10 - 18 \]

   \[ 5y = -8 \]

   \[ y = -8/5 = -1.6 \]

   Шаг 2: Проверим решение в третьем уравнении:

   Подставим x=3 и y=-1.6 в уравнение 3x + 10y = -7:

   \[ 3(3) + 10(-1.6) = 9 - 16 = -7 \]

   Результат совпадает с уравнением. Значит, система имеет решение.

   Ответ: x = 3, y = -1.6

2. Система 2:

   Решим первые два уравнения и проверим решение в третьем.

   Шаг 1: Решим первые два уравнения:

   \[ \begin{cases} x - 2y = 1 \\ 2x + y = 7 \end{cases} \]

   Из второго уравнения выразим y:

   \[ y = 7 - 2x \]

   Подставим в первое уравнение:

   \[ x - 2(7 - 2x) = 1 \]

   \[ x - 14 + 4x = 1 \]

   \[ 5x = 1 + 14 \]

   \[ 5x = 15 \]

   \[ x = 3 \]

   Найдем y:

   \[ y = 7 - 2(3) = 7 - 6 = 1 \]

   Шаг 2: Проверим решение в третьем уравнении:

   Подставим x=3 и y=1 в уравнение 4x + y = 14:

   \[ 4(3) + 1 = 12 + 1 = 13 \]

   Получили 13, а в уравнении должно быть 14. Так как 13 ≠ 14, то система не имеет решения.

Ответ: 1) x = 3, y = -1.6; 2) Система не имеет решения.