31.15. Имеет ли решение система уравнений: 1) 2x + y = 5, 3x - 4y = 24, x - 2y = 9; 2) 2x + 3y = -1, 3x + 5y = 1, 5x + 9y = 5?

Решение:

1. Система 1:

   Для проверки наличия решения в такой системе (когда уравнений больше, чем переменных), мы можем решить первые два уравнения, а затем проверить, удовлетворяет ли найденное решение третьему уравнению.

   Шаг 1: Решим первые два уравнения:

   \[ \begin{cases} 2x + y = 5 \\ 3x - 4y = 24 \end{cases} \]

   Из первого уравнения выразим y:

   \[ y = 5 - 2x \]

   Подставим во второе уравнение:

   \[ 3x - 4(5 - 2x) = 24 \]

   \[ 3x - 20 + 8x = 24 \]

   \[ 11x = 24 + 20 \]

   \[ 11x = 44 \]

   \[ x = 4 \]

   Найдем y:

   \[ y = 5 - 2(4) = 5 - 8 = -3 \]

   Шаг 2: Проверим решение в третьем уравнении:

   Подставим x=4 и y=-3 в уравнение x - 2y = 9:

   \[ 4 - 2(-3) = 4 + 6 = 10 \]

   Получили 10, а в уравнении должно быть 9. Так как 10 ≠ 9, то система не имеет решения.

2. Система 2:

   Аналогично, решим первые два уравнения и проверим решение в третьем.

   Шаг 1: Решим первые два уравнения:

   \[ \begin{cases} 2x + 3y = -1 \\ 3x + 5y = 1 \end{cases} \]

   Умножим первое уравнение на 3, а второе на 2, чтобы привести коэффициенты при x к одному значению:

   \[ \begin{cases} 6x + 9y = -3 \\ 6x + 10y = 2 \end{cases} \]

   Вычтем первое уравнение из второго:

   \[ (6x + 10y) - (6x + 9y) = 2 - (-3) \]

   \[ y = 5 \]

   Подставим y=5 в первое уравнение:

   \[ 2x + 3(5) = -1 \]

   \[ 2x + 15 = -1 \]

   \[ 2x = -1 - 15 \]

   \[ 2x = -16 \]

   \[ x = -8 \]

   Шаг 2: Проверим решение в третьем уравнении:

   Подставим x=-8 и y=5 в уравнение 5x + 9y = 5:

   \[ 5(-8) + 9(5) = -40 + 45 = 5 \]

   Получили 5, и в уравнении должно быть 5. Так как 5 = 5, то система имеет решение.

Ответ: 1) Система не имеет решения; 2) Система имеет решение.